三角形是角形初中数学学习中的一个重要内容，而三角形中的重心坐标重心、外心、外心垂心也是垂心三角形的重要概念。这些概念在三角形的公式性质和应用中起着重要的作用。在本文中，角形我们将重点介绍三角形重心、重心坐标外心、外心垂心的垂心坐标公式。

首先，公式我们需要了解什么是角形三角形重心、外心、重心坐标垂心。外心三角形的垂心重心是由三条中线交汇处，称为三角形重心。公式三角形的外心是由三条垂直平分线交汇处，称为三角形外心。三角形的垂心是由三条高交汇处，称为三角形垂心。

三角形的重心、外心、垂心坐标公式的推导需要使用向量的知识，这里我们简单介绍一下三角形向量的一些基本概念。三角形的三个顶点坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，向量$\\vec{ a}$的起点坐标是$(x_1,y_1)$，终点坐标是$(x_2,y_2)$，向量$\\vec{ b}$的起点坐标是$(x_1,y_1)$，终点坐标是$(x_3,y_3)$，向量$\\vec{ c}$的起点坐标是$(x_2,y_2)$，终点坐标是$(x_3,y_3)$。

三角形的重心坐标公式是$(\\frac{ x_1+x_2+x_3}{ 3},\\frac{ y_1+y_2+y_3}{ 3})$，即三角形三个顶点坐标的平均值。这个公式的推导可以使用向量的知识，具体如下：

向量$\\vec{ OA}=\\vec{ a}$，向量$\\vec{ OB}=\\vec{ b}$，向量$\\vec{ OC}=\\vec{ c}$，则三角形重心$\\vec{ G}$的坐标为：

$$\\vec{ G}=\\frac{ \\vec{ OA}+\\vec{ OB}+\\vec{ OC}}{ 3}$$

即：

$$\\vec{ G}=\\frac{ 1}{ 3}[(x_2-x_1,y_2-y_1)+(x_3-x_1,y_3-y_1)+(x_3-x_2,y_3-y_2)]$$

化简后得到：

$$\\vec{ G}=(\\frac{ x_1+x_2+x_3}{ 3},\\frac{ y_1+y_2+y_3}{ 3})$$

三角形的外心坐标公式是$(\\frac{ D_x}{ 2R},\\frac{ D_y}{ 2R})$，其中$D$为三角形三个顶点到外心的距离之和，$R$为三角形外接圆半径。这个公式的推导可以使用向量的知识和勾股定理，具体如下：

向量$\\vec{ OA}=\\vec{ a}$，向量$\\vec{ OB}=\\vec{ b}$，向量$\\vec{ OC}=\\vec{ c}$，则三角形外心$\\vec{ O}$的坐标为：

$$\\vec{ O}=\\vec{ A}+\\frac{ \\vec{ AB}\\times\\vec{ AC}}{ \\vec{ AB}\\cdot(\\vec{ AB}+\\vec{ AC})}$$

其中$\\times$表示向量的叉乘，$\\cdot$表示向量的点乘。 $\\vec{ AB}\\times\\vec{ AC}$是向量$\\vec{ AB}$和向量$\\vec{ AC}$的叉积，其大小等于以$\\vec{ AB}$和$\\vec{ AC}$为邻边所构成的平行四边形的面积。

三角形外接圆半径$R$等于$\\frac{ AB\\times AC\\times BC}{ 4S}$，其中$S$表示三角形的面积。

三角形三个顶点到外心的距离分别为$R$，$R$，$R$，因此$D=3R$，带入公式可得：

$$\\vec{ O}=\\vec{ A}+\\frac{ \\vec{ AB}\\times\\vec{ AC}}{ \\vec{ AB}\\cdot(\\vec{ AB}+\\vec{ AC})}$$

化简后得到：

$$\\vec{ O}=(\\frac{ D_x}{ 2R},\\frac{ D_y}{ 2R})$$

其中$D_x$和$D_y$分别为向量$\\vec{ AB}$和向量$\\vec{ AC}$的叉积的分量。

三角形的垂心坐标公式是$(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)$减去三角形重心的坐标，即：

$$(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(\\frac{ x_1+x_2+x_3}{ 3},\\frac{ y_1+y_2+y_3}{ 3})$$

化简后得到：

$$(\\frac{ 2x_1+x_2+x_3}{ 3},\\frac{ 2y_1+y_2+y_3}{ 3})$$

通过以上的推导，我们得到了三角形重心、外心、垂心的坐标公式，这些公式在三角形的计算和应用中起着重要的作用。

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