微分方程欧拉二步公式是微分解决一些特殊常系数微分方程的方法，其中的欧拉点公式是推导欧拉二步公式的关键之一。

首先，式中式推我们考虑如下形式的点公导微分方程：

$$y''+ay'+by=0$$

其中，$a$和$b$均为常数。微分我们假设方程的欧拉解为$y(x)=e^{ rx}$，代入微分方程中得到：

$$r^2e^{ rx}+are^{ rx}+be^{ rx}=0$$

化简得到：

$$(r^2+ar+b)e^{ rx}=0$$

由于$e^{ rx}$不可能为0，式中式推因此：

$$r^2+ar+b=0$$

这是点公导微分方程的特征方程。假设特征方程有两个不同的微分根$r_1$和$r_2$，那么方程的欧拉通解为：

$$y(x)=c_1e^{ r_1x}+c_2e^{ r_2x}$$

其中$c_1$和$c_2$为任意常数。如果特征方程只有一个重根$r_0$，式中式推那么方程的点公导通解为：

$$y(x)=(c_1+c_2x)e^{ r_0x}$$

其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

接下来，微分我们考虑如何求解特征方程的欧拉根$r_1$和$r_2$。这时候就用到了欧拉二步公式中的式中式推点公式。点公式的表述如下：

设$y_1(x)$和$y_2(x)$是微分方程$y''+ay'+by=0$的两个线性无关解，$x_0$为自变量$x$的一点，则$y_1(x)$和$y_2(x)$在$x=x_0$处的值和导数可以用$y_1(x_0)$、$y_2(x_0)$、$y_1'(x_0)$和$y_2'(x_0)$来表示：

$$\\begin{ cases}y_1(x_0)=c_1\\\\y_2(x_0)=c_2\\\\y_1'(x_0)=\\alpha c_1+\\beta c_2\\\\y_2'(x_0)=\\gamma c_1+\\delta c_2\\end{ cases}$$

其中$\\alpha$、$\\beta$、$\\gamma$和$\\delta$是常数，满足$\\alpha\\delta-\\beta\\gamma\eq0$，且$c_1$和$c_2$是待定常数。

对于特征方程$r^2+ar+b=0$，我们假设其两个根分别为$r_1$和$r_2$，对应的两个解为$y_1(x)=e^{ r_1x}$和$y_2(x)=e^{ r_2x}$。我们选取$x_0=0$，根据点公式可以得到：

$$\\begin{ cases}y_1(0)=1\\\\y_2(0)=1\\\\\\alpha y_1'(0)+\\beta y_2'(0)=r_1\\\\\\gamma y_1'(0)+\\delta y_2'(0)=r_2\\end{ cases}$$

由于$y_1(x)$和$y_2(x)$是线性无关解，因此可以得到：

$$\\begin{ vmatrix}y_1(0)&y_2(0)\\\\\\alpha y_1'(0)+\\beta y_2'(0)&\\gamma y_1'(0)+\\delta y_2'(0)\\end{ vmatrix}\eq0$$

化简得到：

$$(\\alpha-\\delta)y_1'(0)+(\\beta-\\gamma)y_2'(0)=r_1-r_2$$

将$y_1'(0)=r_1e^{ r_1\\times0}=r_1$和$y_2'(0)=r_2e^{ r_2\\times0}=r_2$代入上式得到：

$$(\\alpha-\\delta)r_1+(\\beta-\\gamma)r_2=r_1-r_2$$

解方程组可以得到：

$$\\begin{ cases}\\alpha=\\dfrac{ r_1-b}{ r_1-r_2}\\\\\\beta=\\dfrac{ 1}{ r_1-r_2}\\\\\\gamma=\\dfrac{ r_2-b}{ r_2-r_1}\\\\\\delta=\\dfrac{ 1}{ r_2-r_1}\\end{ cases}$$

将$\\alpha$、$\\beta$、$\\gamma$和$\\delta$代入点公式中，可以得到：

$$\\begin{ cases}y_1(x_0)=c_1\\\\y_2(x_0)=c_2\\\\y_1'(x_0)=\\dfrac{ r_1c_1-c_2}{ r_1-r_2}\\\\y_2'(x_0)=\\dfrac{ r_2c_2-c_1}{ r_2-r_1}\\end{ cases}$$

这个点公式就是欧拉二步公式的关键之一，通过它我们可以求解特征方程的根，从而得到微分方程的通解。

(责任编辑：休闲)