在三维空间中，直线我们经常会遇到求解两条直线之间距离的到直问题。为了解决这个问题，距离我们需要推导出直线到直线的公式过程距离公式。下面，推导我们来一步一步地推导。空间

假设有两条直线，直线分别为 $L_1$ 和 $L_2$，到直它们的距离方程分别为：

$$L_1:\\begin{ cases}x=x_1+t_1a_1\\\\y=y_1+t_1b_1\\\\z=z_1+t_1c_1\\end{ cases}$$

$$L_2:\\begin{ cases}x=x_2+t_2a_2\\\\y=y_2+t_2b_2\\\\z=z_2+t_2c_2\\end{ cases}$$

其中 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 是两条直线上的任意一点，$a_1,公式过程b_1,c_1$ 和 $a_2,b_2,c_2$ 是两条直线的方向向量，$t_1$ 和 $t_2$ 是推导参数，表示该点到直线起点的空间距离比上方向向量的模长。

我们要求的直线是两条直线之间的距离，因此我们需要找到两条直线上的到直最短距离。假设这个最短距离的距离长度为 $d$，那么我们可以得到如下的关系式：

$$\\vec{ P_1P_2} = \\vec{ P_1Q} + \\vec{ QP_2}$$

其中 $\\vec{ P_1P_2}$ 表示两条直线之间的距离向量，$\\vec{ P_1Q}$ 和 $\\vec{ QP_2}$ 分别表示从点 $P_1$ 和点 $P_2$ 到最短距离上的点 $Q$ 的向量。

由于点 $Q$ 在最短距离上，因此它同时处于直线 $L_1$ 和 $L_2$ 上，即：

$$\\begin{ cases}x_1+t_1a_1=x_2+t_2a_2\\\\y_1+t_1b_1=y_2+t_2b_2\\\\z_1+t_1c_1=z_2+t_2c_2\\end{ cases}$$

我们可以将上面的方程组变形为矩阵的形式：

$$\\begin{ pmatrix}a_1&-a_2\\\\b_1&-b_2\\\\c_1&-c_2\\end{ pmatrix}\\begin{ pmatrix}t_1\\\\t_2\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}x_2-x_1\\\\y_2-y_1\\\\z_2-z_1\\end{ pmatrix}$$

设矩阵为 $A$，向量为 $\\vec{ D}$，参数向量为 $\\vec{ t}$，那么矩阵方程可以写为 $A\\vec{ t}=\\vec{ D}$ 的形式。

接下来，我们需要求解参数向量 $\\vec{ t}$，以便确定点 $Q$ 的位置。我们可以通过最小二乘法来求解 $\\vec{ t}$。最小二乘法的目标是使得误差 $\\vec{ E}$ 的平方和最小，即：

$$\\min \\|\\vec{ E}\\|^2$$

其中误差向量 $\\vec{ E}$ 定义为：

$$\\vec{ E}=A\\vec{ t}-\\vec{ D}$$

将 $\\vec{ E}$ 的平方和展开，得到：

$$\\|\\vec{ E}\\|^2=(A\\vec{ t}-\\vec{ D})^T(A\\vec{ t}-\\vec{ D})=\\vec{ t}^TA^TA\\vec{ t}-2\\vec{ t}^TA^T\\vec{ D}+\\vec{ D}^T\\vec{ D}$$

为了求解最小二乘解，我们需要对 $\\|\\vec{ E}\\|^2$ 求导，并令导数等于零，即：

$$\\frac{ \\partial}{ \\partial \\vec{ t}}\\|\\vec{ E}\\|^2=2A^TA\\vec{ t}-2A^T\\vec{ D}=0$$

解得：

$$\\vec{ t}=(A^TA)^{ -1}A^T\\vec{ D}$$

最后，我们可以根据 $\\vec{ t}$ 得到点 $Q$ 的坐标：

$$\\begin{ cases}x_Q=x_1+t_1a_1\\\\y_Q=y_1+t_1b_1\\\\z_Q=z_1+t_1c_1\\end{ cases}$$

最短距离的长度 $d$ 就是向量 $\\vec{ P_1Q}$ 的模长，即：

$$d=\\|\\vec{ P_1Q}\\|=\\sqrt{ (x_Q-x_1)^2+(y_Q-y_1)^2+(z_Q-z_1)^2}$$

综上所述，我们得到了两条直线之间距离的公式：

$$d=\\sqrt{ (x_Q-x_1)^2+(y_Q-y_1)^2+(z_Q-z_1)^2}$$

其中 $x_Q,y_Q,z_Q$ 可以通过矩阵方程 $A\\vec{ t}=\\vec{ D}$ 和参数向量 $\\vec{ t}=(A^TA)^{ -1}A^T\\vec{ D}$ 求解得到。