交错级数收敛的充要条件

交错级数是交错级数指级数中正项与负项交替出现的级数，其一般形式为：

$$

\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(-1)^{ n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\\cdots

$$

其中 $a_n$ 为正数。收敛对于交错级数而言，条件其收敛性相对于正项级数要更为复杂一些，交错级数需要满足一定的收敛条件才能够收敛。

接下来，条件我们就来介绍一下交错级数收敛的交错级数充要条件。

首先，收敛我们需要引入一个概念——交错级数的条件部分和。

对于交错级数 $\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(-1)^{ n+1}a_n$，交错级数其部分和为：

$$

S_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\\cdots+(-1)^{ n+1}a_n

$$

接下来，收敛我们就要介绍交错级数收敛的条件两个必要条件：

第一个必要条件是交错级数的正项 $a_n$ 序列需单调递减至零，即：

$$

a_1\\geq a_2\\geq a_3\\geq \\cdots \\geq a_n\\geq a_{ n+1}\\geq \\cdots \\geq 0

$$

第二个必要条件是交错级数交错级数的部分和 $S_n$ 序列需有界，即：

$$

|S_n|\\leq M

$$

其中 $M$ 为非负常数。收敛

接下来，条件我们来证明一下这两个必要条件。

首先，我们证明第一个必要条件。

假设 $a_n$ 不单调递减，即存在 $n_0$，使得 $a_{ n_0}

那么，我们可以将交错级数从第 $(n_0+1)$ 项开始分拆，得到：

$$

S_n=S_{ n_0}+\\sum_{ k=n_0+1}^{ n}(-1)^{ k+1}a_k

$$

由于 $a_{ n_0}

$$

S_{ n_0+2}=S_{ n_0}+(-1)^{ n_0+2}a_{ n_0+1}+(-1)^{ n_0+3}a_{ n_0+2}>S_{ n_0}

$$

又因为 $a_n$ 不单调递减，所以 $(-1)^{ n_0+4}a_{ n_0+3}<0$，因此：

$$

S_{ n_0+4}=S_{ n_0+2}+(-1)^{ n_0+4}a_{ n_0+3}+(-1)^{ n_0+5}a_{ n_0+4}

$$

以此类推，我们可以得到：

$$

S_{ n_0+2k}>S_{ n_0+2k-2}>S_{ n_0+2k-4}>\\cdots>S_{ n_0}

$$

因此，$S_n$ 没有极限，即交错级数发散。

因此，我们证明了第一个必要条件。

接下来，我们证明第二个必要条件。

假设 $S_n$ 不有界，即存在 $n_0$，使得 $|S_{ n_0}|>M$。

那么，我们可以将交错级数从第 $(n_0+1)$ 项开始分拆，得到：

$$

S_n=S_{ n_0}+\\sum_{ k=n_0+1}^{ n}(-1)^{ k+1}a_k

$$

由于 $|S_{ n_0}|>M$，所以：

$$

|S_{ n_0+2}|=|S_{ n_0}+(-1)^{ n_0+2}a_{ n_0+1}+(-1)^{ n_0+3}a_{ n_0+2}|>|S_{ n_0}|

$$

又因为 $|S_n|$ 不有界，所以 $|S_{ n_0+4}|<|S_{ n_0+2}|$。

以此类推，我们可以得到：

$$

|S_{ n_0+2k}|>|S_{ n_0+2k-2}|>|S_{ n_0+2k-4}|>\\cdots>|S_{ n_0}|

$$

因此，$|S_n|$ 没有上界，即交错级数发散。

因此，我们证明了第二个必要条件。

综上所述，交错级数 $\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(-1)^{ n+1}a_n$ 收敛的必要条件为：正项 $a_n$ 序列单调递减至零，并且部分和 $S_n$ 序列有界。